INDUKSI MATEMATIKA

PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

CONTOH :
Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n².
Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+3+5+⋯+2n−1=n2

Langkah pembuktian pertama:
untuk  n=1, benar bahwa  S(1)=12=1
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk n=k, yaitu

S(k)=1+3+5+⋯+2k−1=k2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu

S(k+1)=1+3+5+⋯+2k−1+2(k+1)−1=(k+1)2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k2=1+3+5+...+2k−1 sesuai dengan pengandaian awal

[1+3+5+⋯+2k−1]+2(k+1)−1=k2+2(k+1)−1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

 k2+2k+1=(k+1)2, ingat bahwa (k+1)2=k2+2k+1

 (k+1)2=(k+1)2 (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

Sumber :  http://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika